Los Modos

Los Modos: un estudio comparado©

© Javier Darias

       Una noche en Chisinau, capital de ese majestuoso y admirable país que es la República Moldava, y tras la celebración de uno de los conciertos del Festival International "The Days of New Music" que allí anualmente vienen celebrando, mi amigo, el eminente compositor y teórico Profesor Ghenadie Ciobanu, me preguntó qué opinión tenía acerca del estudio y clasificación de los Modos del Profesor Anatol Vieru en "Cartea Modurilor" (Bucarest 1980, más tarde reeditado como "The Book of Modes", Bucarest 1993), visto desde la perspectiva de mi trabajo de investigación en "Lêpsis" (Madrid, 2006), en donde dedico un apartado en el que expongo de forma exhaustiva su estudio y clasificación.
       Le comuniqué mi admiración por la investigación tan precisa y meritoria que el Profesor Vieru había realizado en su libro, aunque presentáramos en nuestros trabajos algunas divergencias respecto a sus respectivas conclusiones. De hecho, le comenté que es el estudio más interesante que acerca de los Modos había tenido en mis manos, por lo que mi admiración y respeto a su obra era absoluto. Ya en Lêpsis dije, haciendo referencia a su tratado, que era muy recomendable su consulta:por estar elaborado con una minuciosidad y rigor verdaderamente admirables; aunque se evidencie ya desde su etiología que nuestro enfoque, exposición, desarrollo y, sobre todo, nuestras conclusiones, se muestren totalmente diferenciadas y, en ocasiones, abiertamente divergentes (Cap. VI, pág. 397, nota nº6). También le comenté en el transcurso de dicha cena -a la que nos acompañaba el maestro Gheorghe Mustea, la musicóloga Irina Ciobanu-Suhomlin, y los compositores Vladimir Beleaev y Carmen Verdú-, que la complejidad de dar una respuesta suficientemente satisfactoria en aquellas circunstancias, me impedía siquiera enunciar sucintamente alguno de los argumentos de las diferencias que se encontraban en nuestros trabajos, a pesar de las numerosas concordancias a las que habíamos llegado por distintos caminos y que dominaban ambas propuestas.
       No obstante me quedó de aquella cena la idea de un compromiso por contestar a su consulta, y exponer un día de forma clara y precisa las convergencias y desviaciones que presentábamos.
      Y es por ello, que este estudio comparado quiero dedicarlo al Profesor Ghenadie Ciobanu, alentador principal y, por tanto, motivo de que aparezca ahora aquí este opúsculo publicado.

       En el origen y punto de partida de la clasificación de ambas Tablas, se encuentra la respuesta de que algunos resultados presenten una desviación al confrontarlos, y, como sentenció Cicerón, Causarum enim cognitio cognitionem eventorum facit (Tópica 67).

       Cuando se estudian y enfrentan nuestras respectivas Tablas de Modos, y a ellas voy a referirme en exclusiva en este estudio, se puede observar una gran coincidencia en casi todas las conclusiones, sin embargo existen unas diferencias muy significativas que voy a tratar de dilucidar.
Para ello expondré en primer lugar el método utilizado por el Profesor Vieru, que es el que le conduce a tales conclusiones. Como él mismo relata, la solución a la complementariedad de las estructuras modales la encontró en la cuestión planteada por el matemático inglés Henry Ernest Dudeney ("536 Puzzles & Curious Problems", pág. 175-176, nº 458. Ed. Martin Gardner, Charles Scribner's Sons. New York, 1967). Dice el Profesor Dudeney (1857-1930):

         El problema del collar
       ¿Cuántos collares diferentes se pueden hacer con ocho cuentas, donde cada cuenta puede ser blanca o negra, siendo indistinguibles salvo por el color de las cuentas?
       Podemos tener ocho blancas u ocho negras, o siete blancas y otra negra, o seis blancas y dos negras, como en nuestra ilustración de la página 176. Por supuesto, si usted intercambia el número negro 3 con 4 o con 5 o con 6 , se obtienen diferentes collares. Pero si intercambia 3 con 7 será el mismo que 3 con 5, ya que está simplemente girando el collar. Así que deberemos tener cuidado con este tipo de repeticiones para no contarlas como diferentes. (…)
 
   

      Para todos aquellos que desconozcan este procedimiento, diremos que el Profesor Vieru aplica este proceso en un collar de 12 cuentas (las distancias que median entre ellas representarán los intervalos), en donde distribuimos las distintas posibilidades teniendo siempre presente lo formulado por el Profesor Dudeney respecto a las repeticiones, pero en este caso, por ejemplo, con tres cuentas blancas y nueve negras,

 


y luego buscando las distancias entre ellas (los intervalos), recordando siempre que si empezamos por  cualquier blanca, o por cualquier negra, en cualquier sentido, obtendremos la expresión de un mismo modo. No obstante, para conseguir una organización ordenada, es aconsejable empezar siempre por la cuenta blanca más distanciada (de mayor valor), y seguir en sentido levógiro (a); luego repetimos la misma operación con las cuentas negras, empezando por la que ocupa el segundo lugar después de la última blanca (b); lo que nos permite ya comprender mejor la expresión conjunta (c):


 

       Hemos escogido para ello este ejemplo (con 9 negras) correspondiente a los modos de las eneáfonas, por ser muy claro y lo suficientemente representativo del conjunto de procesos aplicables a los distintos modos; y empezaremos por disponer conjuntos de tres cifras (las 3 blancas, que son sus complementarias hasta 12) al ser mucho más fácil formular combinaciones circulares desde la complementaria menor que desde la mayor, teniendo presente que una combinatoria circular que totalice 12 cuentas, y siguiendo las consideraciones del Profesor Dudeney, dará siempre como resultado las siguientes combinaciones posibles:
(10,1,1), (9,2,1), (8,3,1), (8,2,2), (7,4,1), (7,3,2), (6,5,1), (6,4,2), (6,3,3), (5,5,2), (5,4,3), (4,4,4),
ordenadas de mayor a menor. Como podremos observar a continuación, si las blancas las disponemos de mayor (10,1,1) a menor (4,4,4), las negras quedarán ordenadas de menor (1,1,1,1,1,1,1,1,4) a mayor (1,1,2,1,1,2,1,1,2), y viceversa.

       La representación final referente a los modos de las eneáfonas, será:
 

      Lo que el Profesor Vieru refleja en su Tabla (The Book of Modes, pag. 79 y sig.), como:

           __A__     ______B______

<9>1* (10,1,1) - (1,1,1,1,1,1,1,1,4)
10>  (9,2,1)   - (1,1,1,1,1,1,1,2,3)2*
11>  (1,2,9)   - (3,2,1,1,1,1,1,1,1)2*
12>  (8,3,1)   - (1,1,1,1,1,1,2,1,3)
13>  (1,3,8)   - (3,1,2,1,1,1,1,1,1)
<14>  (8,2,2)   - (1,1,1,1,1,1,2,2,2)
etc…
<27>  (4,4,4)   - (1,1,2,1,1,2,1,1,2)

1*Empieza por <9> porque las decáfonas han concluido en el <8>, y el sentido de la Tabla es decreciente desde la dodecáfona).
2*Unidos por una llave, sitúa en la parte inferior a sus retrógrados (si dispone de ellos), que, sin embargo, luego tendrá que descontar por tratarse de repeticiones. Para evitar estos vaivenes, sería interesante construir la Tabla directamente sin palíndromos.

            Bien, pues con este sencillo procedimiento podremos construir íntegramente la Tabla completa. Así, por ejemplo, en octófonas: (9,1,1,1), (8,2,1,1), (8,1,2,1), (7,3,1,1), etc.



       Por lo que ya podemos deducir que seguirá en la Tabla, con:

<28> (9,1,1,1) - (1,1,1,1,1,1,1,5)
29> (8,2,1,1) - (1,1,1,1,1,1,2,4)
30> (1,1,2,8) - (4,2,1,1,1,1,1,1)
<31> (8,1,2,1) - (1,1,1,1,1,1,3,3)
32> (7,3,1,1) - (1,1,1,1,1,2,1,4)
33> (1,1,3,7) - (4,1,2,1,1,1,1,1)
etc.
<70> (3,3,3,3) - (1,2,1,2,1,2,1,2)

En heptáfonas: (8,1,1,1,1), (7,2,1,1,1), (7,1,2,1,1), etc. Lo que reflejará,  como:

<71>  (8,1,1,1,1)  - (1,1,1,1,1,1,6)
72>  (7,2,1,1,1)  - (1,1,1,1,1,2,5)
73>  (1,1,1,2,7)  - (5,2,1,1,1,1,1)
74>  (7,1,2,1,1)  - (1,1,1,1,1,3,4)
75>  (1,1,2,1,7)  - (4,3,1,1,1,1,1)
etc.
<136> (3,2,3,2,2) - (1,2,2,1,2,2,2)

… y así, hasta concluir la Tabla completa.

       Las coincidencias de los resultados de estas aplicaciones en la Tabla de Modos que aparece en "The Book of Modes" (pag. 79-82), a los obtenidos por mí en "Lêpsis" (Tabla Ordinal de Modos, pág. 497-502) son más que notables, como veremos en la conclusión de este trabajo (en ocasiones haremos referencia a ellos como BM y, respectivamente).
       Como el Profesor Vieru advierte, para la obtención del número total de modos en su Tabla: (…) a modal structure together with its inverted reading form together a single necklace (…) From the number of structures we will have to subtraet those which are the inverse reading of another structure (namely we count these structures only once, and do not count their retrogrades). And also, there does not exist the pair <1> (Ø) ~ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) with a monocolour (one colour) structure. (The Book of Modes, pag. 78-79)

       Así, para las tres primeras, endecáfonas, decáfonas y eneáfonas, los resultados son exactos en ambas Tablas, BM y , pero al llegar a las octófonas, heptáfonas, hexáfonas y pentáfonas, empiezan ya a aparecer divergencias (en Lêpsis se contempla el total de escalas existentes de pentáfonas a dodecáfona, excluyendo las inferiores, de 4, 3, 2 y 1 intervalos, por los motivos expuestos en Cap. VI, pág. 396, notas nº 1 y 2). Y estas diferencias se dan porque existe un tipo de modos no detectables con la sistematización de la aplicación del procedimiento derivado del problema de collares del Profesor Dudeney, y es la existencia de algunos modos que se comportan de forma singular respecto a lo que sería su lógica matemática, y que sólo son detectables partiendo de un procedimiento de cuantificación interválica más adecuado a las características propias de una reflexión musical, como veremos a continuación; procedimiento que he utilizado en Lêpsis para la construcción de las Tablas, con el que se han analizado, una a una, las 1.785 escalas existentes entre cinco y doce intervalos, para poder conocer el modo real al que pertenece cada una de ellas (Lêpsis. Tabla Programática de Escalas, 427-495). 
       Las diferencias entre ambas clasificaciones en las dos Tablas BM y , se debe a la existencia de dos tipos de modos: los correspondientes a las escalas isomorfas, y los constituidos por las escalas puente:

       1) Escalas Isomorfas (Lêpsis, Cap. VII, pág. 60-61), son aquellas que manteniendo los mismos intervalos constitutivos, pero con distinta estructura organizativa (ejem. 11112213 y 11121123), dan sin embargo como resultado la pertenencia a un mismo modo. Es el caso en BM de los ocho modos correspondientes, dos a las octófonas nos [45B y 50B] y seis a las hexáfonas nos [157(158)A3* y 157(158)B], [172A y 172B], [176A y 176B], que finalmente resultan ser sólo cuatro, según hemos reunido en cada par [ ]; los modos constitutivos de cada hexáfona, al no ser palíndromos entre sí, son considerados en BM también como diferentes, lo que provoca allí la categorización de ocho modos clasificados como distintos, que, sin embargo, corresponden tan sólo a cuatro modos tipificados en como los nos 111, 54, 41, 44, respectivamente.
3* Entre paréntesis, los palíndromos.
       Veamos por qué tomando uno de ellos, como por ejemplo el nº 45B que se contabiliza como un modo distinto al nº 50B en BM, es considerado el mismo modo (nº 111) en . Sus estructuras son: 1,1,1,1,2,2,1,3 y 1,1,1,2,1,1,2,3, respectivamente, y si atendemos a la sistematización matemática antes aludida del Profesor Dudeney, se estaría haciendo referencia, en efecto, a dos collares realmente distintos.
       Pero no ocurre así en su consideración musical, pues aplicando el proceso de cuantificación interválica, al estudiar el conjunto de intervalos resultantes que son generados desde cada una de las estructuras (Lêpsis, Cap.VII, pág. 33-36), comprobamos su convergencia:

a) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar el [:1,1,1,1,2,2,1,3:]
-De 2m (intervalos existentes de 1 semitono) y 7M4* (intervalos existentes de 11 semitonos) :
2m: [11112213], [11112213], [11112213], [11112213], [11112213] } 5
7M5*: [11112213], [11112213:], [11112213:], [11112213:], [11112213:] } 5
-De 2M (intervalos de 2 semitonos)  y 7m (intervalos de 10 semitonos) :
2M: [11112213], [11112213], [11112213], [11112213], [11112213] } 5
7m: [11112213], [11112213:], [11112213:], [11112213:], [11112213:] } 5
-De 3m (intervalos de 3 semitonos) y 6M (intervalos de 9 semitonos) :
3m: [11112213], [11112213], [11112213], [11112213], [11112213] } 5
7M: [11112213], [11112213], [11112213:], [11112213:], [11112213:] } 5
       Es decir: de 2m y 7M: 10; de 2M y 7m: 10; de 3m y 7M: 10. Siguiendo con el mismo proceso, obtenemos: de 3M y 6m: 10; de 4j y 5j: 10; de 4+: 6
       Simplificando, la proporción 10/10/10/10/10/6 en la que participan todos los intervalos posibles, desde 2m hasta 4+, queda: 5/5/5/5/5/3

4*Se ha buscado (innecesariamente) en los dos pares, 2m y 7M, 2M y 7m, 3m y 6M, etc., tan sólo para mostrar que siempre deberán coincidir ambos, es decir, que para operar, en adelante, se puede calcular directamente sólo el intervalo más pequeño (2m, 2M, 3m, etc.), lo que evitará simplificar posteriormente los valores obtenidos, tal y como operaremos a continuación.
5*El número en negrilla (bold) indica el dígito por el que se comienzan a contar los semitonos, y se sigue en sentido dextrógiro una distribución que es también circular]

b) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar el [:1,1,1,2,1,1,2,3:]
2m/7M: [11121123], [11121123], [11121123], [11121123], [11121123]} 5
2M/7m: [11121123], [11121123], [11121123], [11121123], [11121123]} 5
3m/7M: [11121123], [11121123], [11121123], [11121123], [11121123]} 5
      Siguiendo con el mismo proceso: de 3M y 6m: 5; de 4j y 5j: 5; de 4+: 3
      La proporción en la que participan todos los intervalos posibles, desde 2m hasta 4+, será: 5/5/5/5/5/3

a+b) Lo que nos permite comprobar que ambas estructuras, a) 1,1,1,1,2,2,1,3 y b) 1,1,1,2,1,1,2,3, son coincidentes en un mismo modo, el clasificado en como modo nº 111.

       Por otro lado, si consultamos el factor de proporcionalidad (Lêpsis, Cap.VII, pág.30), que es el que permite el conocimiento comparado de modos con distinto número de intervalos, y teniendo en cuenta que para las octófonas es fp = 3,571, podremos conocer la proporción en la que intervendrá cada intervalo constitutivo cuando se utilice ese modo en concreto: 5/5/5/5/5/3 x 3,571 =
17,9% 2m-7M / 17,9% 2M-7m / 17,9% 3m-6M / 17,9% 3M-6m / 17,9% 4j-5j / 10,7% 4+
o como representamos en las Tablas (Lêpsis, Tabla Distributiva, pág. 505-509), de forma abreviada:
17,9/17,9/17,9/17,9/17,9/10,7.

Resumiendo:
El Modo 111 de , había sido considerado como dos Modos nos 45B y 50B en BM.
Igualmente ocurre cuando enfrentamos los restantes pares, de los que obtendremos como resultado:
Dos Modos nº 157A y 157B en BM = Modo nº 54 de (fp: 6,666 = 20/13,3/13,3/20/20/13,3)
Dos Modos nº 172A y 172B en BM = Modo  41 de (fp: 6,666 = 13,3/13,3/26,7/20/13,3/13,3)
Dos Modos nº 176A y 176B en BM = Modo nº 44 de (fp: 6,666 = 13,3/13,3/26,7/13,3/20/13,3)

       Por lo que es necesario eliminar de la cuantificación final, un modo del par de octófonas (45B y 50B), y tres modos de los pares de hexáfonas (54A y 54B, 172A y 172B, y 176A y 176B), por estar repetidos.

       2) Escalas Puente Ps, son aquellas con el mismo número de intervalos, que conteniendo distinto/s intervalo/s constitutivo/s y cambiando necesariamente su estructura organizativa (ejem: 112233 y 121224), dan sin embargo como resultado la pertenencia a un mismo modo (Lêpsis, Cap. VI, pág. 402-405 y Cap. VII, pág. 108). Es el caso en BM de los pares de modos correspondientes a las pentáfonas nos [85A y 90A], [98A y 112A], [108A y 116A]; a las heptáfonas nos [85B y 90B], [98B y 112B], [108B y 116B]; y a las hexáfonas [139A y 139B], [141A y 141B], [143A y 143B], [145A y 145B], [147A y 147B], [150A y 150B], [152A y 152B], [161A y 161B], [165A y 165B], [167A y 167B], [169A y 169B], [170A y 170B]; estos dieciocho pares, al no ser palíndromos, son considerados también como diferentes modos, lo que totaliza treinta y seis modos clasificados en BM como distintos, que, sin embargo, corresponden tan sólo a dieciocho modos, clasificados en como los nos 21, 12, 13; 79, 81, 83; 62, 57, 58, 49, 50, 51, 45, 46, 36, 37, 38, 39, respectivamente,

       3) Con menor repercusión tendríamos los tres modos de las Escalas Puente Pg (Lêpsis, Cap. VI, pág. 414-415), que son aquellas con distinto número de intervalos y distinto/s intervalo/s constitutivo/s (ejem: 12121212 y 1212123), que, no obstante, dan como resultado la pertenencia a un mismo modo; afecta a los seis modos: [70B y 131B], [114A y 171A], [180A y 130A], en BM, que corresponden en realidad a tres modos: nos 76, 14, y 5, respectivamente, en ; su naturaleza es conveniente consultarla directamente en Lêpsis, pues su exposición aquí dilataría en exceso el presente trabajo, siendo mínima su incidencia.

       4) En el caso, muy distinto, de los cuatro modos de las Escalas Excéntricas, y que hacen referencia a los 71A, 72(73)A3*, 74(75)A, 137A en BM, las diferencias respecto a son sólo aparentes, pues en ambos casos se consideran como cuatro modos distintos, y en realidad difieren tan sólo en la localización de su clasificación en ambos Tratados (Lêpsis, Cap. VII, pág. 36-39).
   
CONCLUSIÓN:

- Endecáfonas: BM = 1 // = 1
- decáfonas:    BM = 6 // = 6
- eneáfonas:    BM = 12 [19 - 7 retrógradas] // = 12
- Octófonas:    BM = 29 [43 - 14 retrógradas AA] // = 27 [al excluir por duplicación, 1 isomorfa y 1 puente Pg]
- Heptáfonas:  BM = 38 [66 - 28 retrógradas AA] // = 35 [al excluir por duplicación, 3 puente Ps]
- Hexáfonas:   BM = 50 [80 - 30 retrógradas (9 AA, 8 BB, 13 AB)] // = 32 [al excluir por duplicación 2 puente Pg, 12 puente Ps, 3 isomorfas y 1 excéntrica
- Pentáfonas:  BM = 38 [66 - 28 retrógradas AA] // = 32 [al excluir 3 puente Ps y 3 excéntricas)

       Por lo que a la Tabla de BM, tendríamos que restarle los modos que son la lectura inversa de otra estructura (palíndromos), y también el par <1> (Ø) ~ (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1), como indica el Profesor Anatol Vieru (The Book of Modes, pag. 78-79). Pero, además, deberíamos restar también: los cuatro modos de las isomorfas (3 modos que implican a 48 escalas hexáfonas, y 1 modo con 32 octófonas; Lêpsis, Cap. VII, vol. II, pág. 60-61), los tres modos de las puente Pg (2 modos que implican a 3 escalas hexáfonas, y 1 modo con 2 octófonas; Lêpsis, Cap. VI, pág. 414-415), y los dieciocho modos de las puente Ps (3 modos que implican a 20 escalas pentáfonas, 12 modos con 114 hexáfonas, y 3 modos con 35 heptáfonas; Lêpsis, Cap. VI, pág. 402-405), por encontrarse duplicados.  
      Las desviaciones debidas a los cuatro modos de las excéntricas, como hemos manifestado anteriormente, sólo difieren en la distinta ubicación de su clasificación en ambos Tratados: situados en la propia Tabla en MB, y fuera de ella con la tipificación de excéntricas en , por las razones allí expuestas (Lêpsis, Cap. VII, pág. 36-39), al ser considerados como no operativos.
       Concluiríamos entonces diciendo, en consecuencia, que el número de modos operativos distintos existentes entre pentáfonas y dodecáfona, es de:
Pentáfonas 32 modos (1 al 32), hexáfonas 32 modos distintos (33 al 64), heptáfonas 35 modos (65 al 99), octófonas 27 modos distintos (100 al 126), eneáfonas 12 modos (127 al 138), decáfonas 6 modos (139 al 144), y endecáfonas 1 modo (145). Total: 145 Modos (Lêpsis, Cap. VI, pág. 400).


Javier Darias, Tierra de Lorna (País Valencià), 7 de abril de 2016.

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